SWAP:從 Uniswap v3 到 crvUSD LLAMMA

作者介紹：

0xmc@0xreviews:機制審計、產品設計、密碼經濟學獨立研究員。

0xjezex@0xreviews:代幣經濟學獨立研究員，初級Solidity工程師，倫敦帝國理工學院金融科技碩士生。

0xstan@0xreviews:獨立開發者，DappLearning核心貢獻者。

paco@perp.com:Solidity開發者、安全研究員、DeFi愛好者。

前言

Curve穩定幣最難的部分是LLAMMA。LLAMMA參考了Uniswapv3中的一些原則。但是，白皮書中的價格與Uniswapv3白皮書中的算法不同。我們將統一這兩個項目，并嘗試了解CurveCEO是如何設計這個演算法。

用Uniswapv3作為參考

本文中價格的定義與Uniswapv3互為倒數。因此，我們修改了Uniswapv3白皮書中的公式，讓它與本文保持一致。簡而言之，LLAMMA試圖讓Uniswapv3中的一切都變得動態，以便為crvUSD債務人和清算人提供更適當的價格。

恒定乘積公式(ConstantProductFomula)比較

Uniswapv3白皮書中的公式(2.2)：

資深投資人Jim Rogers：隨著各國尋求替代品，美元的時代“即將結束:5月21日消息， 與億萬富翁George Soros共同創立Quantum Fund的資深投資人Jim Rogers表示，隨著越來越多的國家尋求美元的替代品，美元的時代即將結束。Rogers警告說，許多國家都在行動，試圖找到可以與美元競爭并最終取代美元的替代品，這只是時間問題。他解釋稱，美元的主導地位將不可避免地下降，因為“沒有一種貨幣能超過150年”。他重申，“沒有人總是高高在上，所以這種情況一直存在。”[2023/5/21 15:16:28]

圖一：Uniswapv3虛擬流動模擬

Curve穩定幣白皮書中的公式(1)：

圖二:有外部價格來源的AMM

在這裡Pcd代表Pcurrent_down,Pcu代表Pcurrent_up

Xapo Bank 成為首家支持 USDC 存取款的全牌照銀行:金色財經報道，比特幣托管人和持牌私人銀行Xapo Bank與Circle合作，成為世界上第一家持牌銀行集成 USDC 支付軌道作為 SWIFT 的替代方案。

通過在其現有的 USDC 入口添加 outrails，Xapo 銀行使會員能夠繞過昂貴且耗時的 SWIFT 支付，而是通過穩定幣進行存款和取款，而Xapo銀行不收取任何費用。該銀行提供從 USDC 到 USD 的 1:1 兌換率。Xapo 銀行的所有 USDC 存款都會自動轉換為美元，這意味著會員可以享受 4.1% 的年利率存款回報。[2023/3/23 13:20:39]

而對應關係為：

對應的恒定乘積公式為：

而在這之間：

流動性計算公式對應

Uniswapv3白皮書中的公式(6.7)：

Robinhood正式發布加密錢包APP，可充當Web3瀏覽器:1月20日消息，Robinhood正式發布軟錢包APP，允許用戶轉移、兌換加密貨幣和NFT，并且能夠充當Web3瀏覽器。

Robinhood表示，該錢包還提供了其他高級功能，比如連接去中心化應用程序和NFT市場，該錢包應用會向其100萬名候補用戶陸續開放，未來預計將成為MetaMask、Phantom和Coinbase Wallet的競爭對手。（Decrypt）[2023/1/20 11:22:52]

由于它們的價格定義之間存在倒數關係，對應的公式為：

此公式的一個具體應用是：

平方展開可以得到：

索尼和曼城推出元宇宙球迷體驗:金色財經報道，英超聯賽足球俱樂部曼城和索尼正在合作在元宇宙中創建一個新的虛擬粉絲參與平臺。索尼知識產權和企業孵化平臺負責人Toshimoto Mitomo表示，通過這個PoC，索尼將支持曼城進一步提高其內容的價值以及與全球球迷的互動。[2023/1/13 11:09:06]

從上面的公式我們很容易的可以了解，當y0保持不變，Pcd和Pcu數值越接近，相對應的流動性I則越大。

換句話說：

流動性不可能是無限的,在UniswapV3中對應最小的tick會限制L的大小。

由此可以推斷在LLAMMA中，我們還需要定義一個指標來衡量價格之間的最小差異，來繼續Uniswapv3和Curve的類推。

對應最小差價

從A的定義中可以看出?,當p↓和p↑越接近時，A則越大，流動性集中度越高：

俠盜獵車手6或將于2024年引入加密貨幣系統:金色財經消息，據一位內部人士分享的游戲花絮，俠盜獵車手6可能會在2024年發布，并引入類似比特幣的加密貨幣系統。據悉，這是該游戲系列首次涉足加密領域，此前2013年的GTA5版本允許玩家進入股市世界訪問BAWSAQ和LCN交易所并可以按照自己的意愿買賣股票。（ScreenRant）[2022/6/27 1:33:12]

Uniswapv3中，只有能被tickSpacing整除的tick才能被預設。因此，tickSpacing決定了LP分配流動性的最低價格范圍。tickSpacing越小，價格范圍越窄、越精確。在Uniswapv3中，不同的費用等級決定了不同的tickSpacing。

然而，crvUSDLLAMMA不需要那麼多tickSpacing。由于LLAMMA僅有ETH-crvUSD,因此只需要讓每一個tickSpacing=100basepoint。?

來自Uniswapv3的公式(6.1)：

在LLAMMA中，A=100，來自Curve穩定幣白皮書的公式(11)：

設置n=-i,A=100,我們會得到：

設計Pcd和Pcu

我們希望LLAMMA具有以下屬性：當ETH價格上漲時，礦池購買ETH。當ETH下跌時，礦池出售ETH。在這樣的機制下，我們把Pcd和Pcu定義為Po的函數并且比線性函數更陡峭，因此它們的增長率會比Po更快。同時從圖中可以看出兩條曲線Pcu和Pcd分別通過兩點(P↓,P↓)和(P↑,P↑)。滿足以上要求的Pcd和Pcu其實有很多曲線。通用公式為：

當m<n

讓我們從最簡單的例子開始：

把Pcu和Pcd帶入I的平方展開：

然后f2可以計算為：

不難發現f2在這種假設下很難理解和計算。如果Pcu和Pcd是?Po的三次函數:

把Pcu和Pcd帶入I的平方展開：

重新計算f2：

可以看出，當?Pcu和Pcd是Po的三次函數，整個數學形式就簡單多了。去掉了平方根項，計算方便多了。如果接受更高的訂單，則AMM的價格和Po將相差很大，因此購買ETH的成本會更高，而導致更大的清算損失。總之，把Pcu和Pcd定義為Po的三次函數是一個更好的選擇。

其他參數的推導

Pcu和Pcd是關于Po的三次函數,取特別數值Po=P↑,不難得到Y=Y0和X=0，于是：

鑒于I的公式，我們可以計算f和g：

在這邊，我們最終得到完整的恒定乘積公式：

將上方公式轉化為Y0二次方程式：

用一個未知數的二次方程求解Y0：

如果價格變動的夠慢讓預言機價格Po完全有能力遵循它，給定X和Y，使用Uniswapv3的計算公式，是有可能計算出ETH的Y↑是多少或美元的X↓最終將處于的區間內：

參考出處：Adams,Hayden,etal."Uniswapv3core."Tech.rep.,Uniswap,Tech.Rep,2021fromhttps://uniswap.org/whitepaper-v3.pdfEgorov,Michael,andCurveFinance.Curvestablecoindesign.Technicalreport,CurveFinance,Tech.Rep,2022fromhttps://github.com/curvefi/curve-stablecoin/blob/master/doc/curve-stablecoin.pdf

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