ADF:時間序列該如何權衡平穩性和記憶力？

許多預測模型都要求時間序列具有一定的一致性，即“平穩性”。平常的轉換，即整數階差分(譬如，在金融學中表現為建模收益而不是絕對價格)，消除了數據中的記憶，從而影響了建模的預測能力。

本文概述了分數微積分如何保留更多的信息，以及如何更好地在平穩性和有意義的記憶之間做出權衡。

一般而言，我們會把一個給定的時間序列理解為一個隨機過程產生的樣本，并試圖推斷出其分布及統計數據以建立一個預測模型。

建立隨機過程的預測模型是為了平衡樣本的特殊性和一般性：該模型根據一般模式的背景對給定的序列做出解釋。

美聯儲副主席：需要在一段時間內保持“充分限制性”政策:金色財經報道，美聯儲副主席布雷納德：需要在一段時間內保持“充分限制性”政策。降低通脹至2%需要時間和決心。[2023/1/20 11:22:15]

比一般預測回歸更具體的是，由于時間結構的原因，時間序列一般具有其固有順序。任何給定的實例都反映了其發展變化情況，即過去跟蹤記錄的特定記憶。

平穩性

為了確定生成過程的一般模式并映射給定的排列，在實際建模之前我們通常將此特定序列的記憶作為預處理步驟的一部分予以刪除。

在機器學習領域的監督學習中，該序列可以發現一般性結構并對給定的實例與標記訓練集中更多的樣本進行匹配。

Coinbase平臺出現長時間中斷:金色財經報道，Coinbase今日遭遇了長時間的中斷，影響了對其Coinbase和Coinbase Pro平臺以及信用卡的訪問。其狀態頁面顯示，Coinbase報告其Coinbase信用卡嚴重中斷，其網站、移動應用程序和API部分中斷。根據Downdetector的說法，自美國東部時間下午3點以來，Coinbase一直在經歷大量中斷。[2021/10/28 21:03:52]

在數學領域,過程的統計特性不會因時間順序的改變而變化，這意味著系列不會隨時間推移而呈現出一種趨勢。該概念被稱為平穩性。

檢查時間序列平穩性的方法有很多種:

觀察線形圖，尋找一段時間內的明顯的趨勢。比較數列中各種分割的基本匯總統計數據。觀察自相關圖：曲線下降越快，滯后越明顯，序列的非平穩性階數越小。最常見的平穩性統計檢驗是單位根的ADF檢驗。

韋氏評級：現在不是比特幣的入場時間:加密評級機構韋氏評級（Weiss Crypto Ratings）發推稱，市場人氣如此之高，人們如此樂觀，以至于下一次BTC下跌時，會把孩子們嚇得“魂飛魄散”，現在不是入場時間。[2020/5/22]

單位根是指初始條件或外部沖擊不會隨著時間的推移而消散，而是通過該序列傳播，并通知所有后續值。該含義從直觀上正式地解決了在單位圓上的過程特征方程。

對于給定的置信水平，ADF測試零假設“序列中存在單位根”以及序列穩定性的替代。它直接證明了，單位根的存在確實意味著該序列的不穩定。

動態 | 幣安研究院：大牛暫時看不到跡象 ICO融資艱難階段恰是投資與發現的最佳時間:幣安研究院微博發文《幣安交易所上小幣種18年與19年兩次簡單統計對比與簡單總結》，文中總結稱：

1、列表中大多基于ETH公鏈來做應用，解決痛點，17年這些的繁榮造就了ETH，并催生了牛市，大餅（BTC）到達2萬美金高度。健康的生態是小幣和主流幣、大餅（BTC）互相促進。單靠BTC自我突破那注定了BTC無法走向主流，只會淪為炒作標的；

2、小幣幣民經過兩年多的浮沉、試錯，在接下來的階段已經或者即將找到更合適的方法來迎接新的階段，有些可能會迎來新生；

3、關于大牛市何時到來。底層的主網暫時還看不到突破性的東西，波卡、ATOM，Ton估計都不算革命性的東西。大牛暫時看不到跡象；

4、在可能即將到來的小幣小行情中，會從圖中的老的小幣種開始，再走向一些特殊的板塊。這些板塊大概率是基于二層的與游戲行業相關；

5、那些專門提供資金盤交易的當紅炸子雞們會逐漸暗淡走向沒落；

6、ICO融資已經變得很難，接下來一段時間會更難，這個階段恰恰是投資與發現的最佳時間。[2019/10/8]

分數階微積分

聲音 | Bakkt首席執行官：需調整比特幣期貨時間線以保證一切準備就緒:據cryptoglobe報道，美國洲際交易所子公司Bakkt的首席執行官Kelly Loeffler表示，Bakkt一直在配合CFTC對Bakkt的徹底審查。由于對Bakkt存在大量興趣以及完成所需的全部工作，Bakkt將比特幣期貨的發布時間推遲至2019年1月24，以確保在發布日一切準備就緒。通常情況下，產品發布前有新的流程，需要反復測試風險和緩解措施，而將這些資源應用于加密資產的情況下，調整時間線是有意義的。此外， Loeffler表示他們計劃擴大產品（詳細情況將“在未來幾周內”宣布）。[2018/11/21]

事實上，在17世紀牛頓和萊布尼茨發明微積分后不久，數學家們就對分數階導數的使用進行了探索，將微分或積分的順序從自然數擴展到實數。然而，其應采納赫斯特和曼德爾布羅特在20世紀的成果，為分數微積分找到初期的自然應用，并使其與霍斯金和格蘭杰于20世紀80年代創建的Arfima模型一同進入金融領域。

大約在1730年，歐拉就該歸納給出有史以來第一個啟發式，通過函數將二項式系數推廣到實數階。后來，在黎曼和劉維爾的積分理論中，重復微分的柯西公式使之變得更加嚴謹。

這里，我們僅僅給出了時間序列差分應用程序的形式啟發式：

B表示滯后操作符，即對于t>1,BX_t=X_{t-1}和某個時間序列X={X_1，...}。一階元素階差分可以用恒等算子I表示，如下：

金融時間序列建模的應用

在金融領域，時間序列起主導作用。為了更好地理解分數階差分的特征，我們將其應用于一些典型的金融時間序列。

利用以下代碼，將差分算子的上述形式序列的展開式應用到指定實階d和固定窗口大小的時間序列上，得到變換后的序列，然后只需將一個pandas時間序列輸入參數階和lag_cutoff的ts_difference函數中即可。

2016-2018年比特幣的價格(紅色，右軸)，以及部分衍生品(藍色陰影)

正如你可能已注意到的，比特幣的價格在2017年和2018年經歷了一次明顯的炒作。實際上，看看一階差分，我們發現價格在某些日期上漲了2500美元以上。上圖展示了一些分數階差分的平滑函數插值。這似乎很奇怪，在如此強勁的趨勢下，約0.4的弱差分實際上竟足以使該序列呈平穩型：給定樣本的ADF統計量為-5，其已低于DFt-分布的臨界值-2.86,因此在置信度為95%下，該序列可以假定是平穩的。的確，隨著財富的來回變動，它很快就變得吝嗇起來。

低階差分足以滿足平穩性的結論與其他許多金融時間序列相似。

為了說明平穩性和記憶之間的權衡，我們可以進行適當的可視化，并將ADF測試統計數據以及與原始序列的相關性繪制成具有不同階差變換的序列。。

對于商品期貨、匯率、指數等各種典型的金融序列，這種對比清晰地表明了差階滿足金融建模的平穩性條件，同時保留了特定的記憶結構，從而保持了原始序列的統計動態。

ADF檢驗統計量(左軸，紅色曲線)和線性相關(右軸，矢狀花藍色曲線)與原序列進行各種分數階差分，應用于各種金融時間序列。石板灰中的常數線表示ADF檢驗的顯著性水平為95%。

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