區塊鏈:密碼專欄 | 動手計算雙線性對（下）

前言

上一篇文章中，我們在"F_101"上找到了17個點滿足橢圓曲線方程，他們構成一個循環。那么在"F_101"中元素作為坐標的點中還有沒有其他的點也滿足方程呢？換句話說，上篇文章列出的17個點是不是就是滿足方程的全部的解呢？并非如此，比如可以驗證(3,38)也滿足橢圓曲線的方程，但是他不是上面17個點中的一個。另一個子群

實際上，我們甚至可以通過將(6,44)作為生成元來得到一個102個元素的循環群，這個循環群涵蓋了曲線在"F_101"上的全部點。但是，曲線在"F_101"上的循環周期為17的循環群卻只有中篇列出的一個，也就是說在"F_101"上討論的話，循環周期為17的點已經被我們全部找到了。

在中篇中，我們也提到數域的擴張會直接影響我們需要討論的點的多少，那么如果我們對"F_101"進行擴張，是否能夠得到更多的循環周期為17的點呢？METASTATE的博客中給出這樣一個例子，我們將用這個例子說明這個命題的真假。首先我們選擇滿足j^2mod17=15的j用于對"F_101"的擴張，過程就像我們上一篇文章中進行的那樣，擴張后的域記為“F_101的二次擴域”。在這個擴張下，我們可以找到另一個循環周期為17的群，下面的表格列出這個群的全部元素：

開源密碼管理器Bitwarden完成1億美元融資，PSG領投:9月6日消息，面向企業和消費者的開源密碼管理器 Bitwarden 宣布完成 1 億美元融資，PSG 領投、Battery Ventures 參投。Bitwarden 旨在使人們更容易自動生成安全密碼，并將他們所有的唯一密碼和敏感信息存儲在安全的數字保險庫中，從而避免重復使用相同的不安全密碼。Bitwarden 的最大區別在于它建立在開源代碼庫之上，具有高安全意識的個人和企業可以全面檢查平臺的內部運作。（techcrunch）[2022/9/6 13:11:56]

我們隨機選擇(66,0+23j)這個元素來驗證其滿足曲線方程：

99Pool但丁密碼DAC參與分紅人數已達3875人:據99Pool官方消息，自但丁密碼DAC上線以來，憑借無需鎖倉，隨存隨取，當日分紅等優勢吸引大量用戶的參與，截止當前DAC參與分紅人數已達3875人，DAC突破歷史最高價格，為認購價格的185%。

據悉，但丁密碼DAC 基于蟻群算法的啟迪，采用改良優化而得的排序加權算法，作為共識算法的基本運行邏輯，目的是打造一個完備的區塊鏈金融基礎設施平臺。99Pool是99Ex投資孵化的區塊鏈廣告價值分享和數字資產管理平臺，現日活用戶已經突破19萬。[2020/7/3]

左側：y^2mod101=^2mod101=23×15mod101=42

右側：x^3+3mod101=41^3=3mod101=42

左側等于右側，驗證完畢。

在發現通過域擴張后還能找到更多的17階點后，我們不禁會想：

動態 | Block.one發文“區塊鏈將作為密碼不安全性的解決方案”:據IMEOS報道，Block.one在中平臺發表文章“區塊鏈將作為密碼不安全性的解決方案”。文章主要描述密碼的不安全性和區塊鏈如何創建更安全，無密碼的體驗。提到，根據Deloitte 2018年的全球區塊鏈調查，84％的公司高管認為基于區塊鏈的解決方案比傳統的信息技術更加安全。[2019/2/1]

繼續對”F_101的二次擴域”進行擴張，能否找到更多的17階點呢？

或者是：為了找到全部的17階點，我們需要對F_101進行幾次擴張呢？

嵌入度其實就是描述這個問題的一個概念。E是定義在F_101上的橢圓曲線，我們已經有一個包含n=17個點的子群，我們稱這個子群的嵌入度是滿足17整除q^k-1的最小的k。在這個例子中，k=2。計算嵌入度的價值在于事實證明，當對F_101進行擴張以期其上的橢圓曲線包含全部17階點時，最小的擴張次數就等于嵌入度。也就是說在”F_101的二次擴域”上，我們已經找到全部的17階元素。

聲音 | 郵電大學教授王勵成：區塊鏈是一個密碼密集:北京郵電大學教授王勵成表示，區塊鏈是一個密碼密集，比特幣就是區塊鏈的典型代表，它的基本結構可以概括成一個“雙鏈Hash鎖定”，其特性就體現在：它是一個全新的分布式帳本；他是“只增不改”。比特幣核心用密碼學原語就是簽名算法和哈希算法。[2018/10/19]

Millier循環

下面給出計算雙線性映射的Millier算法，當計算e(P,Q)時，該算法根據P的坐標創建一個二元多項式，然后將P坐標的x和y分量帶入求值：

METASTATE的博客中作者已經計算了e((1,2),(90,82u))點的結果為97+89j。我們給出另外一個計算的例子，并且稍后通過對比這兩個例子的結果說明雙線性對的一些屬性。

動態 | 一初創公司將推出基于DNA的密碼錢包:據bitcoin消息，Carverr，一家初創公司聲稱正在為加密貨幣提供所謂的“基于DNA的冷藏庫”，將密碼和密鑰保存在一個微管脫氧核糖核酸(DNA)中。該系統由一群經驗豐富的資產經理和生物技術專家開發，將“數據從數字信息轉化為生物信息，因此不需要軟件更新或互聯網連接”。該公司解釋說:“因為它是離線使用的，所以不會受到黑客攻擊，而且因為你的代碼包含在DNA鏈中，所以它永遠不會過時，不像其他的冷藏錢包。我們不驗證你的密碼的上下文，我們只把你提供給我們的代碼轉換成DNA。”[2018/8/30]

其中f_17是二元的多項式，通過一個稱為Millier循環的過程我們可以生成該多項式，這個過程類似于計算指數運算時的mul-and-square操作。但是為了更直觀的展示原理，我們選擇根據上文定義直接展開計算f_17，這會增加一些計算量。

因此我們需要計算

的表達式。通過查詢上一篇文章的列表我們可以找出P，±2P，±4P，±8P,±16P的值,其中P=(12，32)=5G：

接下來我們來計算這些直線的方程：

這樣我們已經可以計算f_17的結果：

最后我們計算(81+52j)^600

完全解決curve101配對問題

實際上，我們可以計算出GT的生成元e(G1,G2)，也就是e((1,2),(36,31j))，其值為7+28j。這樣我們能夠完全掌握GT中全部的元素：

可以看到GT也是一個循環群，他其實是在“F_101的二次擴域”上滿足方程x^17=1的17個根。根據該表我們不加以計算就可以知道這個配對的任何一個計算結果，例如e((12,32),(36,31u))=e(5G1,G2),因此其值就是上表的第5個元素：93+25j。我們之所以能夠完全解決curve101的配對問題，是因為curve101的一系列參數決定其足夠簡單，而實際零知識證明算法中使用的配對就要復雜很多。例如一些標準中要求其配對曲線的嵌入度至少為12，這意味著GT的元素至少是基礎素域的12次擴張！如果其素域特征為常見的256位，那么為了表示一個GT元素就需要256*12/8=384字節的大小。對于任何一個實際使用的曲線，其計算復雜度和規模都使我們當前絕無可能計算出其映射表，這也是離散對數問題困難的所在。

通過系列文章，我們計算了一個簡單的配對曲線，加深了對雙線性映射的理解。后續，我們繼續使用這個配對曲線來講解和演示零知識證明中Groth16算法的過程和原理，敬請期待。

喬沛楊趣鏈科技基礎平臺區塊鏈底層密碼學小組

Tags：區塊鏈MODDNABIT區塊鏈技術通俗講解無中介MODEL-X-coinWDNA價格bitop交易所中文叫什么

BNB