DSA:數字簽名：基于橢圓曲線的簽名方案

在數字時代中，數字化文檔的認證性、完整性和不可否認性，是實現信息化安全的基本要求。數字簽名則是滿足上述要求的主要方式之一，亦是現代密碼學的研究內容之一。

數字簽名有哪些形式？基于密碼學的數字簽名優勢幾何？有哪些常用的數字簽名實現方案？使用過程中又潛藏何等風險？我們將先從理解概念為始，再為大家逐步深入介紹。

區塊鏈百科No.34：基于橢圓曲線簽名方案

隨著計算機信息處理能力的不斷提高，對密鑰長度的要求也越來越高，這個問題對于存儲能力受限的系統來說顯得尤為突出。

橢圓曲線密碼體制（ECC）的提出改變了這種狀況，它可以用更短的密鑰提供與其他體制相當的或者更高級的安全，并已成為迄今被實踐證明安全、有效、應用較廣的3種公鑰密碼體制之一。本文將繼續為大家介紹基于橢圓曲線的數字簽名方案。

巴西網約車公司99的數字錢包99Pay將支持在其平臺上購買和銷售比特幣:金色財經報道，巴西網約車公司 99 的數字錢包 99Pay 將支持在其平臺上購買和銷售比特幣。從 11 月 3 日開始，99Pay 的用戶將能夠執行最低購買金額為 10 巴西雷亞爾，最高購買金額為 10,000 雷亞爾（相當于 1,800 美元）的免傭金交易。99Pay還表示，該平臺還將提供比特幣現金返還促銷活動。該倡議是在巴西人對加密貨幣的興趣迅速增加以及對加密服務的需求之際提出的。根據該國中央銀行 (BCB) 10 月份發布的數據，截至 2021 年，巴西人迄今已獲得42.7 億美元。在立法方面，巴西國會計劃討論一項法案，以規范在加密貨幣領域運營的公司。（CoinDesk）[2021/10/27 6:14:33]

橢圓曲線在代數學和幾何學上，已被廣范研究了150年之久，有堅實的理論基礎。

數字資產市場協會聘請前美國財政部官員為政策負責人:金色財經報道，數字資產市場協會（ADAM）已聘用前美國財政部官員Robert Baldwin為其政策負責人。在財政部任職期間，Baldwin曾參與金融犯罪執法網絡(FinCEN)的加密錢包提案工作，還參與了總統工作組關于穩定幣的聲明。ADAM首席執行官Michelle Bond稱：“通過與我們的成員合作，我相信我們將制定出有利于公平、有序和高效的數字資產市場的最佳實踐政策。”[2021/5/13 22:00:04]

所謂橢圓曲線是指維爾斯特斯拉（Weierstrass）方程：

所確定的平面曲線，其中a、b、c、d、e屬于域F，其可以是有理數域Q、復數域C，還可以是有限域GF（p）。

美國先鋒集團推出區塊鏈項目 以實現證券資產數字化:投資巨頭美國先鋒集團(Vanguard Group Inc.)已經完成區塊鏈試點項目的第一階段，該項目旨在將證券資產(ABS)的發行數字化。（Cryptopotato）[2020/6/12]

橢圓曲線是其上所有點（x、y）的集合，外加一個無窮遠點O（定義橢圓曲線上一個特殊的點，記為O，它為仿射平面無窮遠的點，稱為無窮遠點。在xOy平面上，可以看做平行于y軸的所有直線的集合的一種抽象）。

密碼學中普遍采用的是有限域上的橢圓曲線，它是指橢圓曲線方程定義式中，所有的系數都是在某一有限域GF（p）中的元素。它最簡單的公式為：

動態 | CFTC前主席Chris Giancarlo披露其數字美元計劃官網:美國商品期貨交易委員會（CFTC）前主席Chris Giancarlo今日發推披露了其數字美元計劃的官方網站。

注：Chris Giancarlo自卸任CFTC主席以來與加密貨幣領域互動頻繁，目前正在著力推進數字美元計劃。詳情見原文鏈接。[2020/2/26]

該橢圓曲線上只有有限個離散點，設為N，則N稱為橢圓曲線的階為N。N越大，安全性越高。基于此，橢圓曲線的圖示可以表示如下：

當然，基于不同變量值，橢圓曲線還有其他的表示形式：

動態 | 日本參議員向內閣提出公文數字化和區塊鏈技術應用的提案:據Jp.cointelegraph消息，日本國會在1月30日召開的參議院預算委員會會議上，就在公文管理中是否使用區塊鏈進行了討論。日本維新會參議員音喜多駿在圍繞公文管理問題的質疑中，提出了公文數字化和區塊鏈技術應用的提案。安倍晉三首相以“技術性問題”為由未直接回答，交由內閣特命擔當大臣北村誠吾回答。北村誠吾就行政文件的電子化問題表示“正在討論具體的實現方法”。[2020/1/30]

當我們仔細觀察這些曲線時，能發現一些有趣特性：（1）對稱性，即曲線上的任何一點都可以在x軸上反射，并保持曲線不變；（2）任何非垂直直線與曲線的交點至多有三個。

我們可以把這條曲線想象成一場桌球游戲。在曲線上取任意兩點并通過它們畫一條直線，它將與曲線相交于另一個位置。在這個桌球游戲中，你在A點拿一個球，把它射向B點，當它擊中曲線時，球要么直接向上反彈(如果它在x軸以下)，要么直接向下反彈(如果它在x軸以上)到曲線的另一邊。我們可以把球看做在兩個點間移動，曲線上的任意兩點碰撞可得到一個新的點。

A·B = C

或者可以用某一個點自身不斷碰撞出新的點。

A·A = B

A·C = D

……

在這個過程中，一個初始點經由n次運算會得到最后到達的點，當你只知道這兩個點的值，要找出n是很難的。

這就像一個人在房間里隨機玩一段時間桌球游戲，對他而言，按照上面描述的規則一遍又一遍地擊球是很容易的。但如果有人走進房間，球剛好結束到達一個點，即使他知道所有的游戲規則，以及球從哪個點開始，也不能確定球到達此處所被擊中的次數。容易正向計算，難以反向計算，這也是陷門函數的基礎。

1985年，Koblitz和Miller將橢圓曲線引入密碼學，提出了基于有限域GF（p）的橢圓曲線上的點集構成群，在這個群上定義離散對數難題并構造出基于其的一類公鑰密碼體制，即基于橢圓曲線的離散密碼體制，其安全性基于橢圓曲線上離散對數問題的難解性。

我們以基于橢圓曲線的ECDSA數字簽名實現方案為例，闡述其具體的實現過程。

密鑰生成算法

假設GF（p）為有限域，E是有限域GF（p）上的橢圓曲線。選擇E上一點G∈E，G的階為滿足安全要求的素數n，即nG=O（O為無窮遠點）。

選擇一個隨機數d，d∈[1，n-1]，計算Q，使得Q=dG。那么公鑰為（n，Q），私鑰為d。

簽名算法

假設待簽名的消息為m，經過如下計算過程，簽名者對消息m的數字簽名為（r，s）。

驗證算法

簽名接收者B對消息m簽名（r，s）的驗證過程如下：

判斷r和r1的關系，如果相等，則簽名有效；否則，簽名無效。

除了上述介紹ECDSA方案之外，基于橢圓的數字簽名方案還有很多，而類似DSA的其他方案例如Schnorr、EIGamal等方案也都被移植到橢圓曲線有限群上。

從上述介紹可知，數字簽名的安全性依賴于基于橢圓曲線的有限群上的離散對數難題。

與前章所述RSA數字簽名和基于有限域離散對數的數字簽名相比，基于橢圓曲線的數字簽名方案具有如下特點：在相同的安全強度條件下，簽名長度短，密鑰存儲空間小，適用于存儲空間有限，帶寬受限、要求高速實現的場合。

此外，橢圓曲線資源豐富，同一有限域上存在著大量不同的橢圓曲線，這也為安全性增加了額外的保障。

正是由于橢圓曲線具有豐富的群結構和多選擇性，并可以在保持和RSA、EIGamal體制同樣安全性的前提下大大縮短密鑰長度，因而有著更為廣闊的應用場景。

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