CHE:一文了解零知識證明當中的Sum-check Protocol

原文作者：FoxTechCEO康水躍，FoxTech首席科學家孟鉉濟

隨著比特幣、區塊鏈、智能合約等概念的鋪開，越來越多的人關注到Web3領域的蓬勃發展。而在技術方面，也有許多開發者關注到支撐區塊鏈底層的密碼學協議。在這之中，零知識證明協議以其獨特的特性大放異彩，無論是在實現隱私保護，還是在實現?Layer?2?性能擴容的?zkrollup?項目當中，都發揮著關鍵的作用。

零知識證明是一類算法的統稱，到目前為止，研究者發明了包括?Plonk、Groth?16、zkStark、Virgo、Orion、Foaks?等等在內的許多種協議。不同的協議適用于不同的計算場景，復雜度和效率也各有不同，例如?Foaks?就以線性的證明時間和較小的證明長度為優勢。

上述的每一種協議，協議目標是相同的，就是證明者希望在不向驗證者透露任何關于自己的秘密的信息的情況下讓驗證者相信自己擁有秘密。sum-checkprotocol?是很多協議的組件，最早在當中被提出。很多計算問題可以被轉化成?sum-checkprotocol?能處理的問題，從而生成證明。包括?Foaks?在內的不少協議的底層協議都基于?sum-checkprotocol，在其上進行調整來實現。

韓國加密交易所Bithumb關閉其研究中心，因公司業務惡化要降本增效:6月1日消息，韓國加密交易所Bithumb在上線一年后將于6月2日關閉其研究中心，Bithumb解釋稱這是因為近期交易量低迷導致公司業務惡化而采取的措施。通過關閉研究中心，Bithumb計劃大幅提高人力資源的效率并降低成本，預計分散在研究中心的人力和資源將重新部署到專注于業務的組織。[2023/6/1 11:51:40]

在?FoxTech?所采用的?Foaks?證明系統當中，該協議同樣發揮著重要的作用。具體來講，為了實現對于某一操作碼?opcode?正確性的證明，需要先將其轉化為算術電路，之后轉換為矩陣，最終生成多項式，對多項式應用證明系統當中的算法，在最后壓縮證明的部分當中，同樣將證明者和驗證者之間的交互過程轉換為計算某個和式，也就是?sum-checkprotocol?的過程。

Binance首次超越Coinbase Pro成為比特幣儲量最多的中心化交易平臺:11月21日消息，據CryptoQuant數據顯示，幣安首次成為比特幣儲備量最大的中心化交易所。首次超過Coinbase Pro。目前，比特幣儲備量前五的中心化交易所分別為：1.Binance 584,083；2.Coinbase 533,048；3.Bitfinex 345,534；4.Gemini 158,918；5.Kraken 71,426。[2022/11/21 7:52:26]

圖?1:Sum-checkProtocol?所在環節

1.協議目標

協議的目標非常簡單且容易理解。

假設我們有一個定義在有限域?F?上的?v?元多項式，記作?g。協議的目標是計算和式：

GameStop推出NFT市場:金色財經消息，據官網文章稱，GameStop宣布推出NFT市場，允許游戲玩家、創作者、收藏家和其他社區成員購買、出售和交易NFT，該公司的NFT市場是一個非托管的、基于以太坊Layer2的市場，使各方能夠真正擁有他們的數字資產，這些資產在區塊鏈上確權和保護。市場允許各方連接到他們自己的數字資產錢包。隨著時間的推移，市場將擴展功能以涵蓋其他類別，例如Web3游戲、更多創作者和其他區塊鏈網絡。

此前3月份報道，GameStop的NFT市場已上線測試版，由Loopring二層網絡提供支持。此前1月份報道，GameStop將建立電子游戲NFT市場。[2022/7/12 2:06:56]

和在?zkRollup?當中考慮的“外包計算”的場景類似，在應用當中，上述式子的計算量會非常大，我們希望將這個式子的計算交給證明者，之后證明者向驗證者證明自己的計算結果是正確的。

迪拜醫療保健慈善機構Al Jalila基金會接受加密貨幣捐款:金色財經報道，Al Jalila Foundation宣布，已獲準接受加密貨幣形式的慈善捐款，成為阿聯酋第一家接受數字貨幣捐款的醫療保健慈善機構。據悉，總部位于迪拜的Al Jalila基金會是致力于通過醫療創新改變生活的非營利醫療保健組織，也是穆罕默德·本·拉希德·阿勒馬克圖姆全球倡議的成員。[2022/6/4 4:01:22]

2.協議假設

首先，需要明確在這個協議當中驗證者的能力。我們假設驗證者擁有可以計算函數?g?的預言。也就是說，對于驗證者而言，確定某個輸入?r?1,...,?rv?之后，計算?g(r?1,...,?rv)是容易的。但是計算完整的結果?H?是困難的。

事實上，在現實應用當中，預言不會存在，但是可以通過某種手段實現，例如我們可以讓證明者幫助驗證者計算這個值，并用更多的技巧附加正確性的證明。

實時Web3基礎設施Blocknative與Polygon合作提供Polygon Gas估算器:6月1日消息，實時Web3基礎設施Blocknative宣布與Polygon合作提供Polygon Gas估算器。Polygon生態用戶可使用Blocknative的Gas平臺，通過Gas API或使用瀏覽器插件查看實時Gas。[2022/6/1 3:55:47]

第二點，關于協議的目標，事實上?sum-check?協議可以對于任意的集合?B?計算?bBmg(b)，但是不失一般性的，我們假設?B={?0,?1?}。

如果證明者是誠實的，應當成立?H=g?1(?0)g?1(?1)。驗證者驗證，若通過則選擇隨機數?r?1?發送給證明者。注意到，根據協議的假設，證明者可以完成上述驗證。

我們用?degi(p)來表示多元多項式?p?當中，第?i?個變量的次數。g?1(X?1)的次數為?deg?1(g)，所以我們知道?g?1?可以用?deg?1(g)?1?個域元素表出。

第?j(j>1)輪：

如果證明者是誠實的，應當成立?gj-1(rj-1)=gj(?0)gj(?1)。驗證者驗證，若通過則選擇隨機數?rj?發送給證明者。

第?v?輪：

Completeness:若證明者擁有有效的?Witness，則驗證者會以不低于的概率接受證明；

Soundness：若證明者沒有有效的?Witness，則驗證者會以低于?negl的概率拒絕證明

Succinctness:Proof?的?Size?必須遠小于?Witness?的?Size；

Zero-knowledge：驗證者無法通過證明的交互過程獲取任何關于?witness?的信息

#其中?negl為任意可忽略的函數

Sum-checkProtocol?的應用

在許多的零知識證明算法當中，sum-checkprotocol?都在發揮著重要的作用。許多問題的證明，都依賴于將原始的問題轉化為?sum-check?的形式，再完成后續的步驟。

例如，可以利用?sum-checkprotocol?來計算一個無向圖中的三角形數量。

首先，我們使用鄰接矩陣?A?表示無向圖?G，設?E?為其邊集合，則?Ai,?j=?1(i,?j)E，也就是說若點?i,?j?之間存在一條邊則?Ai,?j=?1?否則為?0?。對于點?i,?j,?k，三點構成三角形的條件是?Ai,?j=?1,?Ai,?k=?1,?Aj,?k=?1?。

接下來記矩陣?A?為一映射表，表示的映射為?f:{?0,?1?}logn{?0,?1?}logn{?0,?1?}，其中?logn?為?i，j?的二進制長度。所以對于點?i,?j,?k，三點構成三角形的條件進一步可以表示為?f(i,?j)f(i,?k)f(j,?k)=?1?。

此外，在許多證明系統當中，都采用了?sum-checkprotocol?作為底層邏輯進行構造。下圖展示了根據在?sum-check?基礎上進行不同改造得到的不同證明系統。

圖?4:Sum-checkprotocol?在四類證明系統當中的應用

圖?5:Sum-checkprotocol?在簡潔證明方面的具體應用

產業界同時給予越來越多的關注。

CarstenLund,LanceFortnow,HowardKarloff,andNoamNisan.Algebraicmethodsforinteractiveproofsystems.J.ACM,39:?859?–?868,October1992.

https://people.cs.georgetown.edu/jthaler/sumcheck.pdf

https://zkproof.org/2020/03/16/sum-checkprotocol/

https://eprint.iacr.org/2021/333.pdf

介紹?sum-check?的中文博客?https://blog.csdn.net/mutourend/article/details/111610754?

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