Uniswap:深入分析 Uniswap V3 流動性供應的數學原理

Uniswap 是 DeFi 領域的頭部去中心化交易所，其在今年 5 月上線了 V3 版本協議。V3 版本與之前 V2 版本相比存在諸多差異，如集中流動性、多個費用等級、新的預言機等等。

在這些多樣的特點背后，究竟藏著怎樣的數學奧秘，同時是否真的能為用戶帶來更大的收益，減少無常損失？

知道創宇區塊鏈安全實驗室?將帶你從數學原理角度在 Uniswap V3 集中流動性方面進行剖析。

在 Uniswap V3 中， 流動性提供者可以將其提供的流動性 "限制" 在任意的價格區間內來集中其流動性。

為了解釋這一概念，首先我們關聯到 Uniswap V2 的自動做市商曲線。在該曲線中，用戶的流動性被均勻的分布在整個 (0,正無窮大) 之中。

圖1

在 V2 版本中，由于許多池子的價格變動沒有那么的頻繁，比如 UDST/DAI 池子中。由于其價值均錨定美元，發生的交易將會聚集在上圖中的 A 點附近（即x≈y）， 這就意味著流動性池中的大部分資產是永遠不會被觸及到的。

因此在 V3 中，用戶可以將其流動性聚集在某一個線段。如下圖 B 到 C 點：

Polygon Studios CEO：Polygon將于2023年深入參與PFP和藝術領域:12月27日消息，Polygon Studios 首席執行官 Ryan Wyatt 表示：2022 年 Polygon 與 OpenSea、Magic Eden、Coinbase、Robinhood 和 Phantom 建立或擴大了合作關系，并參與了游戲、DeFi 和音樂領域。Polygon 將在 2023 年深入參與 PFP 和藝術領域。[2022/12/28 22:11:26]

圖2

這樣，由于大量用戶的流動性被集中，對于 B 點到 C 點的線段的流動性將會變得非常 "厚"，這樣的池子將使得來交易的人交易滑點得以顯著減小，并有效提高資本效率。

在具體實現的過程中，V3 依靠了資產的杠桿。將一部分用戶資產虛擬出來，導致了坐標軸圖像的平移，虛擬資產假設對應 x' 和 y'。

在原始的 Uniswap V2 中，曲線公式為：x*y=k

Uniswap V3 通過引入 x' 和 y' 資產升級了該公式。此處x'我們將其稱為 x 資產的虛擬儲備，y' 稱為 y 資產的虛擬儲備，于是引入了如下式子：

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由于為資產添加了杠桿（虛擬資產），使下圖中原本在下面的曲線，能夠平移到上面儲備量更大的曲線中去，這也意味著在有限的的價格范圍 [xb, xc] 內，一組較小的儲備 x、y 能夠充當更大的儲備 x+x'、y+y'。

同時，上方為虛擬資產被添加后的虛擬 AMM 曲線。在實際交易曲線中（限于 BC 點），下方才是流動性提供者資產的真實變化曲線。

于是，在 B 點或 C 點時，處于強勢的資產將被損耗為 0，也就是說將會全部兌換成劣勢資產并停止做市。

如下圖 3：

圖 3 上方為虛擬平移的AMM曲線

根據 V2 的自動做市曲線方程。讓 L 被定義為 k = L^2，于是有該式：x*y = k = L^2

對其開根號，即有

報告：區塊鏈等技術深入應用為在線娛樂帶來發展機遇:7月30日，中國音像與數字出版協會游戲出版工作委員會和中國游戲產業研究院聯合發布《2020年1-6月中國游戲產業報告》，報告稱，5G、云計算、虛擬化技術、編碼技術、人工智能、區塊鏈、數據中心等一系列互聯網新技術的深入應用，將為在線娛樂和云端經濟帶來新的發展機遇。這些新技術將加快云游戲及 AR、VR等多終端游戲的發展和升級迭代，能有效提升用戶體驗。（界面）[2020/7/30]

而對于價格來說，當前的價格 P (用 y 對 x 資產定價)有：

根據式 3，對其取平方根，即有：

聯立式 4 與式 2，我們可以消去 y，對于閉區間 [B, C] 任一點，則有：

同理可消去 y，對于任一點，則有：

于是，我們只要知道 P ( x 的價格)，在流動性沒有改變時( L 不改變)，則可以得到對應的 x 資產量和 y 資產量。

圖4 虛擬資產x'與y'

考慮極端情況，在上圖中，經過平移后上方的 AMM 圖形由于在 B 點時，用戶提供的 x 資產由于在實際中已全部損耗。

重慶市與華為簽署協議 在區塊鏈等領域展開深入合作:4月29日，重慶市政府與華為技術有限公司簽署全面深化戰略合作框架協議。華為將深度參與重慶數字經濟建設，重點支持重慶新一代人工智能創新發展，共同打造重慶市（兩江新區）未來智能汽車科技城，重點建設智能超算中心，共建5G工業領域聯合實驗室，在數據中心、物聯網、區塊鏈、工業互聯網、新型智慧城市、智慧水利、智能終端、5G、智慧園區、機器視覺、人才培養等領域展開全面深入合作。（證券時報）[2020/4/30]

也就是說 x=0，剩余的 x 均為虛擬出來的，即 x'。

根據式 5 去計算。此時計算 x 資產量對于 B 點有：

同理，我們計算 C 點，此時用戶提供的 y 資產由于在實際中已全部損耗，即有 y=0，剩余的 y 均為虛擬出來的，即 y'。則有

由上可知，xb?與?yc?則是Uniswap為用戶虛擬出來的Token量，即x'與y'，這也是Uniswap中為用戶開的杠桿的Token數量。

于是，我們得到完整Uniswap V3的AMM曲線，見式9：

同時，對于選定的區間中的任意一點，由用戶提供的真實的資產見下圖：

中國發展高層論壇將對區塊鏈技術進行深入討論:2018年中國發展高層論壇將于3月24至26日在北京舉行，中國發展研究基金會相關人士表示，中國發展高層論壇在今年迎來了第19屆。圍繞高質量發展、財稅體制改革、供給側結構性改革與金融政策、全面開放新格局、創新與未來等重大議題，中外方嘉賓將開展深入討論。此外，參會嘉賓還將對中國改革開放四十周年、全球不平等、新時代的中美關系、一帶一路、人工智能時代的產業轉型、鄉村振興與農業現代化、金融創新與區塊鏈革命等熱點議題進行深入交流。[2018/2/26]

注：下圖摘自Uniswap V3白皮書 ，區間為[b,a]，任意一點被選擇為c

圖 5 用戶提供的真實資產與虛擬儲備 AMM 曲線

由于 V3 在用戶的選擇下將流動性使用添加杠桿的方式進行了集中，而對于流動性提供者來說本質上是在與用戶做對手盤，即越跌越買，越高越賣，這將導致無常損失的加劇。

根據上述分析，只要價格達到設定的區間臨界點，流動性提供者的代幣將會完全轉換為另一種處于劣勢的代幣，并且在價格重新進入該臨界點之前不會賺取交易費用。

世上沒有什么免費的午餐。風險越高，收益越高。你提供的流動性越集中，你獲得的手續費收入就越高，同時也將承擔更多的無常損失。——Uniswap創始人，Hayden Adams

具體而言，假設現有一 Uniswap V3 交易池，交易對 ETH/DAI，池中 X 與 Y 儲備比例 10 : 800，L2 為 8000，P 為 80 即交易價格 80DAI /ETH 。

當前價格對應點 A(10,800)， 若一流動性提供商，嘗試在 P=[20, 320]進行做市。對應的 點B(5,1600)，P=320。點 C(20,400)，P=20

該流動性提供商想投入 3 個 ETH，這 3 個 ETH 會被全部用于 xreal ，由于當前價格在選定區間內。

根據白皮書，有以下式子：

由式 10，投入 △x=3，投入的 ETH 將改變池子的 L。經過計算 △L 為：

再通過 △L 計算 △y:

于是投入 3 個 ETH（△x）,時，計算投入的 DAI 應為 240 個。新的 L' 約為 143.11 (僅限于在閉區間 P=[20, 320])。

對于該 Uniswap V3 池子, 若 ETH 突然上漲，價格到達 1ETH=100DAI，此時就會有套利者在該 DEX 中用 DAI 兌換 ETH 來套利，為了將其達到與外部平衡，將有 P=80 ==> P'=100，根據白皮書，Swap 計算價格變化如下：

將根號后的起始價格 P 和結束價格 P' 帶入，可以計算得到 △y≈151.09，而 △x≈1.689。

若 Swap 的資產假設該流動性提供者按照 L 比例劃分了 37.5%，于是該流動性提供者分攤 x≈0.6334，y≈56.66

于是我們得出如下表格：

我們將其百分比化：IL_V3 = (540-533.31)/540 ≈1.239%

集中流動性放大了資產L的占比，提高資產效率的同時承擔了更多的無常損失。當然，這只是選擇做市區間比較小，同時分攤比例較大的情況，現實會有許多人根據投入的L占比大小來分攤這筆swap。并且該筆swap由于本身比較大，幾乎占了總資產的21.113%，進而顯得無常損失的百分比很大，這也印證了盲目做市所帶來的虧損。另外，價格波動對其也存在影響，只上漲到P=85時IL_V3約為0.58%。

而對于 Uniswap V2，假設原池中的資產量為 10 個 ETH 和 800 個 DAI，即 P 為 80DAI/ETH。

流動性提供者投入了 3ETH 和 240DAI，此時則存在 13 個 ETH 與 1040 個 DAI，價格仍為 80DAI/ETH，比重占 23.077%，新的 K 為 13520。

當 ETH 突然上漲，價格到達 1ETH=100DAI，此時就會有套利者用 DAI 兌換ETH來套利。

設共用 △y 個 DAI 兌換 △x 個 ETH 后，AMM 池中 ETH:DAI 價格達到與外部平衡的 1:100

不考慮手續費等因素，則有：

解得 dx≈1.3724, dy≈122.76，即套利者給了 122.76 個 DAI，換走了 1.3724 個 ETH。池子 -1.3724 個 ETH，+122.76 個 DAI

這將在所有比重中分擔，于是提供者分擔23.077%，即失去0.3167個ETH，換取28.33個DAI，我們得出如下表格：

IL_V2 = (540-536.66)/540 ≈ 0.6185%

具體將會取決于在 V3 做市區間，越小則杠桿越多，x' 和 y'越大，同時無常損失和手續費收益也會越多。

當然，用戶也可以如 V2 一樣將流動性分攤到整個曲線中去而不是某個線段，即在 0 到正無窮進行做市：

由于篇幅原因，本篇僅就集中流動性進行了討論。Uniswap V3 創新了很多的新功能，其復雜程度相較于 V2 增加了非常多。

無可否認，Uniswap V3 的創新使得 Uniswap V2 被加強，用戶可以選擇將其流動性集中在任何一個區間以獲得更多的手續費。

但與此同時這也將導致更多的無常損失和更大的資金轉換為劣勢資產速度，而這也產生了許多新特性如限價單 swap 等功能。

因此，在選擇做 LP 之前，需要認真思考自己的需求，切忌盲目做市。

Uniswap V3白皮書

Uniswap V3新特性解析

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