ETH:深入分析Uniswap V3流動性供應的數學原理

前言

Uniswap是DeFi領域的頭部去中心化交易所，其在今年5月上線了V3版本協議。V3版本與之前V2版本相比存在諸多差異，如集中流動性、多個費用等級、新的預言機等等。在這些多樣的特點背后，究竟藏著怎樣的數學奧秘，同時是否真的能為用戶帶來更大的收益，減少無常損失？知道創宇區塊鏈安全實驗室將帶你從數學原理角度在UniswapV3集中流動性方面進行剖析。何謂集中流動性

在UniswapV3中，流動性提供者可以將其提供的流動性"限制"在任意的價格區間內來集中其流動性。為了解釋這一概念，首先我們關聯到UniswapV2的自動做市商曲線。在該曲線中，用戶的流動性被均勻的分布在整個(0,正無窮大)之中。

圖1在V2版本中，由于許多池子的價格變動沒有那么的頻繁，比如UDST/DAI池子中。由于其價值均錨定美元，發生的交易將會聚集在上圖中的A點附近，這就意味著流動性池中的大部分資產是永遠不會被觸及到的。因此在V3中，用戶可以將其流動性聚集在某一個線段。如下圖B到C點：

Babel Finance創始人：中國投資者并未深入GME、狗狗幣交易背后的“革命”中:1月30日消息，香港加密貨幣貸款機構Babel Finance創始人兼首席執行官Flex Yang在采訪中表示，不管是GameStop（GME）事件還是狗狗幣的暴漲，從加密貨幣貸款機構的角度來看，中國的散戶投資者并沒有深入或積極地參與這場交易狂潮背后的真正“革命”。（Coindesk）[2021/1/30 18:28:04]

圖2這樣，由于大量用戶的流動性被集中，對于B點到C點的線段的流動性將會變得非常"厚"，這樣的池子將使得來交易的人交易滑點得以顯著減小，并有效提高資本效率。如何將流動性集中

在具體實現的過程中，V3依靠了資產的杠桿。將一部分用戶資產虛擬出來，導致了坐標軸圖像的平移，虛擬資產假設對應x'和y'。在原始的UniswapV2中，曲線公式為：x*y=kUniswapV3通過引入x'和y'資產升級了該公式。此處x'我們將其稱為x資產的虛擬儲備，y'稱為y資產的虛擬儲備，于是引入了如下式子：

動態 | ZB 創新智庫深入歐洲愛沙尼亞進行調研訪問:ZB 創新智庫正在持續深入歐洲各國進行區塊鏈調研，本周到訪愛沙尼亞的首都蒂蘭，深入了解行業最新發展動態。北歐小國愛沙尼亞在區塊鏈開發方面引領歐洲大陸。愛沙尼亞是歐洲第一個對數字經濟發展采取激進政策的國家，憑借其現已知名的電子居留計劃，該國為數字經濟和區塊鏈公司頒發了最多的許可證。 據 Bitcoin.com 網站報道，截至 2018 年 11 月，愛沙尼亞發放的許可證已經超過 900 張。

據 ZB 創新智庫當地調研顯示，近期這個數字現在已翻了一番。目前在愛沙尼亞獲得數字資產許可證已變得較為困難，2019 年 5 月 3 日愛沙尼亞政府財政部對數字資產許可程序進行修改，增加了一系列正式義務，將處理時間從 30 天延長至 90 天，并確定了在愛沙尼亞注冊成立公司或分支機構的要求。[2019/12/12]

聲音 | 井通科技李軍：區塊鏈發展階段正在深入但預期一致可能引發黑天鵝:12月5日消息，井通科技副總裁李軍在談論區塊鏈未來時表示，區塊鏈發展第一階段已經過去，第二階段已經深入場景，隨著階段深入，底層核心技術擁有更加深遠的前景，但值得注意的是，預期一致往往會引發黑天鵝，需要各方警惕。[2019/12/5]

圖3上方為虛擬平移的AMM曲線根據V2的自動做市曲線方程。讓L被定義為k=L^2，于是有該式：x*y=k=L^2對其開根號，即有而對于價格來說，當前的價格P(用y對x資產定價)有：根據式3，對其取平方根，即有：聯立式4與式2，我們可以消去y，對于閉區間任一點，則有：同理可消去y，對于任一點，則有：于是，我們只要知道P(x的價格)，在流動性沒有改變時(L不改變)，則可以得到對應的x資產量和y資產量。計算虛擬資產(x'/y')

聲音 | 中國互金協會副秘書長：我國區塊鏈在金融領域應用總體處于早期嘗試向深入探索轉變的過渡階段:金色財經報道，11月20日，“金融進化論：2019新京報金融科技論壇”上，中國互金協會副秘書長楊農表示，當前，我國區塊鏈在金融領域應用，已在供應鏈金融、金融數據共享和金融信息存證等場景中形成了一些落地案例，總體處于早期嘗試向深入探索轉變的過渡階段，且呈現出探索性應用數量較多、參與主體較為多元、底層技術原創有待加強等特點。同時，區塊鏈在我國金融領域的應用探索也面臨著如下幾個方面的挑戰：技術層面仍難以兼顧部分金融應用場景對安全、功能和性能的要求；研發層面自主創新有待加強，對國外開源程序的廣泛應用可能導致技術依賴風險；業務層面部分金融應用環節尚存在模糊地帶，部分機構在開展區塊鏈應用創新時缺少權威的第三方評估意見作為參考；治理層面存在法律規制困難，如鏈上資產和智能合約等方面的法律有效性界定不清晰。[2019/11/22]

圖4虛擬資產x'與y'考慮極端情況，在上圖中，經過平移后上方的AMM圖形由于在B點時，用戶提供的x資產由于在實際中已全部損耗。也就是說x=0，剩余的x均為虛擬出來的，即x'。根據式5去計算。此時計算x資產量對于B點有：

聲音 | 中國科學院院士王小云：密碼技術將深入融合5G、區塊鏈、人工智能等數字經濟領域:據中國國際貿易促進委員會四川省委員會官網消息，7月29日，第四屆中國網絡與信息安全大會在成都隆重召開。中國科學院院士王小云在題為《密碼技術與數字經濟高質量發展》的報告中指出，目前我國及世界已經進入到大數據應用和數字經濟高速發展的新時期，但是信息的惡意獲取、篡改、偽造和濫用，使得數字經濟的安全問題日趨嚴重。而密碼技術作為保障數字經濟高質量發展的一個重要技術手段，將深入融合5G、區塊鏈、人工智能、衛星性、物聯網、智慧城市等眾多數字經濟領域，助推智慧社會高速發展。[2019/7/31]

圖5用戶提供的真實資產與虛擬儲備AMM曲線隱患-無常損失

由于V3在用戶的選擇下將流動性使用添加杠桿的方式進行了集中，而對于流動性提供者來說本質上是在與用戶做對手盤，即越跌越買，越高越賣，這將導致無常損失的加劇。根據上述分析，只要價格達到設定的區間臨界點，流動性提供者的代幣將會完全轉換為另一種處于劣勢的代幣，并且在價格重新進入該臨界點之前不會賺取交易費用。世上沒有什么免費的午餐。風險越高，收益越高。你提供的流動性越集中，你獲得的手續費收入就越高，同時也將承擔更多的無常損失。——Uniswap創始人，HaydenAdamsUniswapV3--添加流動性

具體而言，假設現有一UniswapV3交易池，交易對ETH/DAI，池中X與Y儲備比例10:800，L2為8000，P為80即交易價格80DAI/ETH。當前價格對應點A(10,800)，若一流動性提供商，嘗試在P=進行做市。對應的點B(5,1600)，P=320。點C(20,400)，P=20

該流動性提供商想投入3個ETH，這3個ETH會被全部用于xreal，由于當前價格在選定區間內。根據白皮書，有以下式子：由式10，投入△x=3，投入的ETH將改變池子的L。經過計算△L為：再通過△L計算△y:于是投入3個ETH,時，計算投入的DAI應為240個。新的L'約為143.11(僅限于在閉區間P=)。UniswapV3--Swap

對于該UniswapV3池子,若ETH突然上漲，價格到達1ETH=100DAI，此時就會有套利者在該DEX中用DAI兌換ETH來套利，為了將其達到與外部平衡，將有P=80==>P'=100，根據白皮書，Swap計算價格變化如下：

我們將其百分比化：IL_V3=(540-533.31)/540≈1.239%集中流動性放大了資產L的占比，提高資產效率的同時承擔了更多的無常損失。當然，這只是選擇做市區間比較小，同時分攤比例較大的情況，現實會有許多人根據投入的L占比大小來分攤這筆swap。并且該筆swap由于本身比較大，幾乎占了總資產的21.113%，進而顯得無常損失的百分比很大，這也印證了盲目做市所帶來的虧損。另外，價格波動對其也存在影響，只上漲到P=85時IL_V3約為0.58%。UniswapV2--添加流動性

而對于UniswapV2，假設原池中的資產量為10個ETH和800個DAI，即P為80DAI/ETH。流動性提供者投入了3ETH和240DAI，此時則存在13個ETH與1040個DAI，價格仍為80DAI/ETH，比重占23.077%，新的K為13520。UniswapV2--Swap

當ETH突然上漲，價格到達1ETH=100DAI，此時就會有套利者用DAI兌換ETH來套利。設共用△y個DAI兌換△x個ETH后，AMM池中ETH:DAI價格達到與外部平衡的1:100不考慮手續費等因素，則有：

IL_V2=(540-536.66)/540≈0.6185%具體將會取決于在V3做市區間，越小則杠桿越多，x'和y'越大，同時無常損失和手續費收益也會越多。當然，用戶也可以如V2一樣將流動性分攤到整個曲線中去而不是某個線段，即在0到正無窮進行做市：

后記

由于篇幅原因，本篇僅就集中流動性進行了討論。UniswapV3創新了很多的新功能，其復雜程度相較于V2增加了非常多。無可否認，UniswapV3的創新使得UniswapV2被加強，用戶可以選擇將其流動性集中在任何一個區間以獲得更多的手續費。但與此同時這也將導致更多的無常損失和更大的資金轉換為劣勢資產速度，而這也產生了許多新特性如限價單swap等功能。因此，在選擇做LP之前，需要認真思考自己的需求，切忌盲目做市。參考

UniswapV3白皮書UniswapV3新特性解析

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