USE:五分鐘讀懂 DODO 背后的 PMM 算法：一個通用性的流動性框架及多種用例

撰文：雷達熊，DODO?創始人

一個有效的市場包含巨量信息，這些信息承載了市場對價格的判斷。但是鏈上計算資源有限，要在鏈上實現一個高度靈活的市場，就好像要把大象塞進冰箱。

把大象塞冰箱這種事情并不罕見，互聯網歷史上已經有過幾次壯舉。例如圖像壓縮，音頻壓縮。

壓縮的本質是提取最重要的特征，拋棄不重要的細節信息。

那么，一個市場最重要的特征是什么，是流動性。流動性可以表示為一張深度圖。

從下圖我們看到，深度圖可以抽象為兩個三角形，而描述這兩個三角形，只需要中間價和斜率即可。

我們盯住右邊的賣盤梯形深度，它的最大特點是，被買走的BaseToken越多，價格越高。因此，這種線性深度可以表示為

其中i是第一個參數「midprice」，k是第二個參數「slope」。

IMF 強硬反對加密貨幣成為官方貨幣或法定貨幣:金色財經報道，國際貨幣基金組織(IMF)對加密貨幣的態度日趨嚴厲。IMF強烈反對將加密貨幣視為“官方貨幣或法定貨幣”，擔心數字資產在全球經濟中的廣泛應用可能會給政府財政帶來風險和不可預測的通脹。為此，IMF呼吁采取全面、一致和協調的政策措施，以確保貨幣主權、投資者利益和金融穩定。IMF提出防范數字資產取代主權貨幣、不授予加密貨幣官方貨幣或法定貨幣地位、在現有制度和規則內妥善整合加密貨幣等三個支柱。[2023/7/25 15:56:49]

B表示當前的BaseToken庫存，B0表示初始BaseToken庫存，(B0-B)/B0用來表示有百分之多少的BaseToken被消耗掉了。

這一公式可以使得價格隨著BaseToken被賣出的數量線性增長。

但是，線性真的是描述流動性最好的方法嗎？并不是，線性描述有兩個局限：

印度尼西亞央行：數字印尼盾將分為三個階段推出:金色財經報道，據印度尼西亞中央銀行表示，其央行數字貨幣“數字印尼盾”將分為三個階段推出，第一階段將是大型銀行用于在彼此之間、或與中央銀行之間轉移資金的批發形式的央行數字貨幣，第二階段央行數字貨幣的使用將擴大到銀行間貨幣市場和貨幣操作。第三階段，也是最后一個階段，零售消費者將可以使用數字印尼盾進行資金轉賬支付。（coingape）[2022/12/6 21:26:30]

真正的市場，大部分流動性集中市場中間價附近，而線性描述并沒有反應這種不平衡的分布。即使價格遠遠偏離市場中間價，也應該有流動性，而線性描述下的價格是有上下限的。我們為價格曲線引入了非線性。在不擴充參數的前提下，使深度分布更符合市場規律，靈活度更高。

最簡單的非線性解決方案，就是使用乘法而非加法。

這個公式可以滿足隨著B的減小，P不斷增大，直至無窮大。但是要怎么把斜率的影響加進去呢？

3Landers NFT將于11月4日上線軟質押模式Adventure:11月2日，據官方消息，3Landers NFT 將于11月4日上線軟質押模式Adventure。用戶僅需在相關頁面進行簽名而無需將持有的 3Landers NFT 轉移至質押合約即可享受質押收益。[2022/11/2 12:08:02]

這就需要對B0/B這一項做改造了。B0/B≥1，我們用一個參數對其進行縮放，在保持此數值大于等于1的同時，可以控制它「大于1的程度」。

上式中，k的取值范圍是，決定了價格的斜率。

當k=0時，價格完全不變當k=1時，價格斜率退化到上一個版本的公式k越大，價格變化越敏感。k越小，價格變化越不敏感。但是還有一個小問題，這里的P是邊際價格，對邊際價格的積分才是用戶需要支付的資產數量。上式中，B0/B這項積分后出現了對數函數，這會使后續計算變得很復雜。為了避免這一麻煩，我們再進一步：

Polygon Zero宣布其零知識驗證系統Plonky2已開源:8月17日消息，Polygon 旗下零知識技術開發商 Polygon Zero（原 Mir）在其社交平臺宣布其零知識驗證系統 Plonky2 已開源。

此前報道，1 月 11 日，Polygon Zero 宣布推出遞歸 SNARK 解決方案 Plonky2，并可與以太坊兼容。官方介紹，使用 Plonky2，用戶可以在筆記本電腦上僅 0.17 秒內生成遞歸零知識證明，比目前的速度快了近 100 倍。[2022/8/17 12:30:17]

在B0/B外面加一個平方項，這樣積分后就變成了一個簡單的除法。

令人驚嘆的是，當k=1時，這條曲線正是AMM所定義的bondingcurve。這種巧合使我們相信，這是一套更加觸及市場本質的算法。

同理，對于左半邊的深度圖，我們用對稱的做法，將basetoken替換為quotetoken，將乘法替換為除法：

Tether 將于 7 月初推出與英鎊 1:1 掛鉤的代幣 GBPT:6月22日消息，穩定幣發行商 Tether 將于 7 月初推出與英鎊 1:1 掛鉤的代幣 GBPT，最初將基于以太坊網絡發行。此前 Tether 已分別推出與美元掛鉤的 USDT、與歐元掛鉤的 EURT、與墨西哥比索掛鉤的 MXNT。[2022/6/22 7:11:14]

我們將左右兩邊的深度圖結合起來，就得到了PMM算法的完全版本，整理一下：

PMM算法是對Orderbook市場的高度壓縮，參數簡單，卻極度靈活。

這使得我們在冰箱如此狹小的空間內，擁有了堪比大象的能力。

下面我來列舉，通過調整參數和充提規則，這套算法可以實現哪些usecase。

UseCase1跟隨外部市場價格的主動做市

這一usecase的應用場景是擁有巨大外部市場的主流幣，例如ETHBTC等

PMM可以實現主動調整盤口價格，減少IL。獲得比AMM更高的資金利用率，并且持有單幣種就能提供流動性

設置如下：

將價格i設置為外部市場價格將k設置為小于1的數字允許任何人單邊充提這一UseCase我們稱之為DODOClassicPool。

UseCase2輕資本需求的自動做市算法

這一usecase應用于沒有主觀定價能力的長尾幣市場，將定價權完全交給taker

通常來講，長尾幣都是新資產，在AMM框架下沒有足夠的賣盤流動性，因而導致其流動性長期匱乏

設置如下：

將價格i設置成起始發行價任意設置k第一筆充值可以以任意資產比例，且不改變市場價后續充值必須按照當前資產比例同時操作兩種資產這一UseCase我們稱之為DODOVendingMachine。

UseCase3完全自由的做市算法

這一usecase為那些雄心勃勃，想要大展拳腳的做市商準備。

在此usecase下，資金池的全部資金都歸做市商所有。所有參數都可以調整，做市商可以根據他的判斷為資產靈活定價。同時做市商可以任意充提單一幣種，而不影響市場價格。

例如：

在ETH=700USDT附近做市，使用很小的k獲得非常有競爭力的流動性，并賺取大量手續費。當察覺到ETH有上漲預期時，撤出ETH庫存以減少單邊風險。但這一操作并不削弱買盤流動性。新資產發行項目方只提供代幣而不提供資金。在1$開始銷售代幣。為了讓更多人以合理價格買到代幣，設置了較小的k，使得代幣上漲溫和。隨后項目方發現需要使用資金，則可以直接提出資金池中的資產，而不損害賣盤流動性，即用戶仍然可以買到大量廉價代幣。設置如下：

只有做市商能充提，允許單幣種操作這一UseCase我們稱之為DODOPrivatePool。

UseCase4流動性眾籌

我們可以將新資產發行分為兩階段：

不開啟現貨交易，所有參與發售的人都以相同的價格獲得代幣以上一階段的結束價格開啟現貨交易，使用上一階段剩余的代幣和資產建立DODOVendingMachine這一UseCase我們稱之為CrowdPooling。

UseCase5退化為AMM

當滿足以下條件時，PPM算法表現和AMM相同。

設置k=1必須按照當前價格比例同時充提兩種資產這也意味著，AMM是PMM的一種特殊情況。推導過程如下：

AMM的價格公式是xy=k，其中k是常數，x、y則分別代表兩種代幣的數量。為了避免字母上的歧義，我們把AMM公式中的恒定乘積定義為Const，并將其改寫為y=Const/x。

其中y代表quotetoken庫存，x代表basetoken庫存，價格可以寫為對y求導。

接下來回到k=1的PMM公式，我們可以將其寫成：

我們發現，PMM價格公式的分子上為常數，分母為basetoken的庫存。只要令

AMM的定價公式，與PMM的定價公式就一致了！

UseCase6穩定幣交易

設置如下：

i=1k=0.001算法表現可以與curve相同，并且更靈活，可以比curve更接近剛性兌換，或更接近AMM。

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