Proof:ZKSwap團隊解讀零知識證明算法之Bulletproofs：Range Proof（1）

前言

Bulletproofs，又一個有意思的零知識證明算法，相信讀者已經很熟悉它了。和zk-snark相比，它不需要可信設置；和zk-stark算法相比，它具有較小的proofsize。根據論文，它有兩個方面的應用：

用于rangeproof；用于一般算術電路的零知識證明。下面，讓我們先看一下Bulletproofs是如何高效的實現第一點。Rangeproof

1.預備知識

aL：表示向量{a1、a2……an}

2n：表示向量{20、21…2n-1}

<a、b>:表示向量內積∑ai*bi，結果是一個值

aob：向量對應位相乘，{a1*b1……anbn}，結果是一個向量

1inch：已棄用UI界面中的池和farming功能:金色財經報道，1inch Network通知用戶，已完全棄用用戶界面中的池和farming功能，用戶仍然可以輕松地從池中提取所有提供的資產，但不再可能在池中添加任何流動性，用戶的所有資金仍然安全。[2023/7/21 11:07:54]

2.證明

Alice想要證明?v??=>則，需要證明一個relation得成立，如下所示：

{：V=?grhv?^v??}

public-xwitness-wrelation-R

即，對于公開信息x，Alice有隱私信息w，使得關系R成立。

令aL為金額v的在范圍內的二進制形式，則aL={a1、a2……an}?{0,1}n，且滿足<aL,2n?>=v。因此，證明者需要證明以下幾個等式相等：

比特幣礦企TeraWulf籌集1000萬美元的新資本以償還部分債務:12月12日消息，比特幣礦企TeraWulf通過向其一些大股東直接發行價值670萬美元的普通股和價值340萬美元的可轉換本票籌集了1000萬美元，以償還某些債務，同時還同意從比特大陸購買8,200臺新礦機。（CoinDesk）[2022/12/13 21:40:10]

等式(1)確保了承諾V和金額v的綁定關系，等式(2)確保了v的范圍，等式(3)、(4)確保了aL?元素只屬于{0,1}。等式(2)/(3)/(4)總共包含了2n+1個約束，其中公式(2)1個，公式(3)(4)各n個。接下來，為了效率，我們需要把2n+1個約束轉換成1個約束。

3.2n+1個約束轉換成1個約束

=>預備：從Zp?中任意選擇一個數y，則b=0n是等式<b,yn>=0成立的充分條件；因為當b!=0n，等式成立的概率僅有n/p，p是有限域，遠大于n。因此，如果有<b,yn>=0，那么驗證者愿意相信b!=0n?。

英國男子James Howells計劃建造機器狗來尋找丟失的BTC的硬盤:金色財經報道，英國男子James Howells錯誤地丟棄了他的硬盤驅動器，其中包含 8000 BTC。據報道，為了找回丟失的財物（截至目前價值約 1.69 億美元），這位 36 歲的男子提出了一項價值 1100 萬美元的總體規劃，其中涉及機器狗和人工智能驅動的機器。它們應該以不損害自然景觀的方式探索該地區。根據他的計算，搜索可能需要長達三年的時間。這些機器將挖掘垃圾并準備填埋場進行探索。然后，24 小時閉路電視攝像機、機器狗和人工智能機器將日夜掃蕩該地區，直到發現硬盤。任務完成后，團隊將清理垃圾場并回收垃圾。[2022/7/31 2:48:58]

利用這個理論，我們把等式(2)/(3)/(4)做以下轉換：

驗證者隨機選取一個數y發送給證明者證明者要證明：

Web3游戲開發平臺Machinations.io完成330萬美元A輪融資，Hiro Capital領投:5月25日消息，Web3游戲開發平臺Machinations.io宣布完成330萬美元A輪融資，本輪融資由Hiro Capital領投。融資資金將用于員工招聘及功能開發。

Machinations.io 專門用于解決設計游戲經濟系統的困難。它使游戲設計師能夠對游戲系統進行大規模模擬，一鍵獲得數百萬的游戲進程數據。[2022/5/25 3:41:38]

同理，等式(5)確保了v的范圍，等式(6)(7)確保了aL?元素只屬于{0,1}。此時2n+1個約束轉換成3個約束，接下來，還需要做進一步的處理：

驗證者隨機選取一個數z發送給證明者證明者利用z對公式(5)(6)(7)進行線性組合，得到如下公式：z2**<aL、2n?>+z*<aL?-1n-aR、yn>+<aL、aR?oyn?>=z2?*v(8)

至此，我們已經把2n+1個約束轉換成1個約束。下面我們對公式(8)做進一步的優化，把三個點積優化成1個點積。

4.三個點積優化成1個點積

=>令

L=aL?-z*1n

R=(aR?+z*1n)oyn?+z2?*2n

δ=(z–z2)*<1n,yn?>-z3*<1n,2n?>

5.驗證：

證明者把L/R/V發送給驗證者；驗證者事先算好δ驗證者根據L算出來aL，根據<aL,2n?>=v算出v驗證者根據L、R、v、δ驗證等式<L,R>=z2?*v+δ因為y，z都是驗證者提供，因此如果驗證者如果能驗證公式(9)成立，則相信等式(5)(6)(7)成立，則相信等式(2)(3)(4)成立，則相信v滿足關系v?。

但是，可以看到上述過程，泄露了v的信息，因此需要一個零知識證明協議。

6.一個零知識證明協議

由于L、R包含了v的相關信息，因此，我們需要添加兩個盲因子sL、sR來隱藏aL，aR。如公式(10)(11)所示：

此時，定義公式(12)

可以看出系數t0是l(x)和r(x)常數項的乘積，即滿足：

t0?=<L,R>=z2*v+δ

因此，問題由證明：

<L,R>=z2*v+δ

轉化成了，在任意一點x，驗證者驗證多項式值l(x),r(x),t(x)滿足關系：

<l(x),r(x)>=t(x)

多項式值l(x),r(x),t(x)由證明者提供，為了保證l(x)，r(x)well-formed，即：

需要校驗：

=>當且僅當l/rwell-formed，等式成立

為了保證t(x)well-fromed，即：

t=t0?+t1x+t2x2

需要校驗：

=>?當且僅當t和τx?welle-formed，等式成立

具體的協議流程圖如下圖所示：

總結

從上述流程可以看出，一次rangeproof，證明者需要發送總共**{l/r/t/τx?/μ/T1?/T2/A/S}**個元素給驗證者，總共2n+3個Zp元素，4個G元素。下一篇文章將細講，Bulletproofs如何將交互復雜度降低到對數級O(log(n))。

附錄

Bulletproofs論文：https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=8418611

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