PRO:ZKSwap團隊解讀零知識證明算法之Bulletproofs：Arithmetic Circuits

Bulleproofs算法有兩個方面的應用。

一個是Rangeproof：

第一講：?理解零知識證明算法之Bulletproofs--RangeProof1

第二講：?理解零知識證明算法之Bulletproofs--RangeProof2

第三講：?理解零知識證明算法之Bulletproofs--RangeProof3

另一個是generalarithmeticcircuits，本編文章就來主要分享Bulletproofs在后者上的應用。

ArithmeticCircuits

BNB Chain：已暫停網絡運行，正在調查潛在漏洞:10月7日消息，BNB Chain發推表示，由于活動異常，目前正在維護中，暫時暫停所有通過BNB鏈的存取款，直到有進一步的更新。“我們在確定潛在漏洞后暫停了BNB Chain，所有系統現在都被控制住了，我們正在調查潛在的漏洞，我們知道共同體將協助并幫助凍結任何轉賬”。

BNB Chain在另一推文表示，被提取資金約7000萬至8000萬美元，已凍結700萬美元。

據悉，本次黑客攻擊導致包含200萬枚BNB在內的約價值7.18億美元資產被盜取。[2022/10/7 18:41:37]

了解ZK-SNARK算法應該都知道算術環路的概念，下面一張圖展示了zk-snark算法中，算術環路的設計規則。

數據：二季度DeFi市值下跌74.6%:金色財經報道，據Coingecko本周發布報告披露數據顯示，由于Terra及其Stablecoin TerraUSD Classic（USTC）在5月崩盤，DeFi市場在今年二季度的市值從1.42億美元下降至3600萬美元，下跌74.6%，但用戶活動仍然保持相對彈性。另外，分析數據顯示，DeFi 鎖定的總價值較上周也略有下挫，本周降至564.5億美元，來自Cointelegraph Markets Pro和 TradingView 的數據顯示，市值前 100 名的 DeFi 代幣本周表現參差不齊，有的跌幅較大，有的則錄得兩位數的漲幅，其中Aave（AAVE）過去一周上漲了 30%，其次是 Uniswap ( UNI )，漲幅為 23%，Compound（COMP）在過去一周上漲了19%，而Curve DAO Token（CRV）在過去7天也上漲了15%。（Cointelegraph）[2022/7/16 2:17:08]

Circuit設計規則：

推特董事會一致建議股東投票通過馬斯克并購協議:6月21日消息，推特為馬斯克收購交易特別會議提交代理聲明，推特公司稱，董事會一致建議股東投票通過并購協議。（金十）[2022/6/21 4:43:20]

1.由乘法門和加法門組成，每個門固定兩個輸入一個輸出；

2.不標記通過加法門連接乘法門的線，如圖中綠線，僅起到連接作用；

3.同一條線直接或間接連接多個乘法門，僅表示為一條有效的線，為了方便理解，用紫色虛線表示其連接關系；

4.MulGate處的取值為圖中紅色字體所示

5.黃色線條為有效連接線

6.橙色線條表示MulGate對應的一階約束

那Bulletproofs算法的算術環路的設計規則是什么樣的呢？我們看看下圖。

Circuit設計規則：

1.由乘法門和加法門組成，每個門固定兩個輸入一個輸出；

2.不標記加法門

3.不標記有常量的乘法門

4.紅色字體表示乘法門的索引

5.黃色字體表示乘法門的輸入和輸出

6.橙色線條表示乘法門對應的一階約束

7.藍色線條表示相鄰乘法門間的一致性約束

因此，一個完整有效的算數電路應該滿足：

1.每個乘法門對應的的約束成立

2.乘法門之間的一致性約束成立

Zk-snark的算術電路通過R1CS滿足了上述兩個條件。

1.每個R1CS表示一個乘法門的約束

2.相鄰乘法門的輸出是下一個乘法門的輸入，如圖中的y,sym_1,sym_2

Bulletproofs的算術環路以通過以下兩種方式滿足上述兩個條件：

1.每個乘法門對應的約束成立

2.上個乘法門的輸出等于下個乘法門的輸入。

看起來兩個算法的證明一個算術電路有效的思想是一樣，但是由于兩個電路的標注規則不同，就產生兩個不同的約束結果。

Zk-snark算法以validwires為基本要素，每個wire有左輸入，右輸入，和輸出三個屬性

Bulletproofs算法以validMulgate為基本要素，每個Mulgate有左輸入，右輸入和輸出三個屬性

最后，附上一張對比圖：

總結以上可以看出，對數算術環路的滿足性問題，不同的算法具有不同的電路描述方式。Zk-snark算法由Circuits轉化到QAP，最終生成的證據僅僅再幾十個字節大小；

Bulletproofs的算法由Circuits轉化到innerproductor，生成的證明的大小和算術電路的乘法門的個數n有關O(log(n*Q)，電路越大，證據越大。

附錄

1.Bulletproofs論文：https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=8418611

2.BCG+講述了算術電路的另外一種描述形式?https://eprint.iacr.org/2017/1066.pdf

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